Savstarpēji izslēdzoši un neatkarīgi notikumi
Cilvēki bieži jauc savstarpēji izslēdzošu notikumu jēdzienu ar neatkarīgiem notikumiem. Patiesībā šīs ir divas dažādas lietas.
Ļaujiet A un B būt jebkuriem diviem notikumiem, kas saistīti ar nejaušu eksperimentu. P (A) sauc par “A varbūtību”. Līdzīgi mēs varam definēt B varbūtību kā P (B), A vai B varbūtību kā P (A∪B) un A un B varbūtību kā P (A∩B). Tad P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Tomēr divi notikumi, kas tiek uzskatīti par savstarpēji izslēdzošiem, ja viena notikuma rašanās neietekmē otru. Citiem vārdiem sakot, tie nevar notikt vienlaicīgi. Tāpēc, ja divi notikumi A un B ir savstarpēji izslēdzoši, tad A∩B = ∅ un tādējādi tas nozīmē P (A∪B) = P (A) + P (B).
Ļaujiet A un B būt diviem notikumiem izlases telpā S. Nosacītā A varbūtība, ņemot vērā, ka B ir notikusi, tiek apzīmēta ar P (A | B) un ir definēta kā; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), ar nosacījumu, ka P (B)> 0. (pretējā gadījumā tas nav definēts.)
Tiek uzskatīts, ka notikums A nav atkarīgs no notikuma B, ja A iestāšanās varbūtību neietekmē tas, vai B ir noticis vai nav. Citiem vārdiem sakot, notikuma B iznākumam nav ietekmes uz notikuma A iznākumu. Tāpēc P (A | B) = P (A). Līdzīgi B ir neatkarīgs no A, ja P (B) = P (B | A). Tādējādi mēs varam secināt, ka, ja A un B ir neatkarīgi notikumi, tad P (A∩B) = P (A). P (B)
Pieņemsim, ka numurēts kubs tiek velmēts un godīga monēta ir pagriezta. Ļaujiet A būt notikumam, kurā tiek iegūta galva, un B ir gadījums, kad tiek pāraidīts skaitlis. Tad mēs varam secināt, ka notikumi A un B ir neatkarīgi, jo tas viena iznākums neietekmē otra iznākumu. Tāpēc P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Tā kā P (A∩B) ≠ 0, A un B nevar būt savstarpēji izslēdzoši.
Pieņemsim, ka urna satur 7 baltas un 8 melnas bumbiņas. Definējiet notikumu A kā balta marmora zīmējumu un notikumu B kā melna marmora zīmēšanu. Pieņemot, ka katrs marmors tiks nomainīts pēc tā krāsas norādīšanas, tad P (A) un P (B) vienmēr būs vienādi, neatkarīgi no tā, cik reizes mēs zīmējam no urna. Marmora nomaiņa nozīmē, ka varbūtība nemainās no izlozes līdz izlozei neatkarīgi no tā, kādu krāsu mēs izvēlējāmies pēdējā izlozē. Tāpēc notikums A un B ir neatkarīgi.
Tomēr, ja marmors tika uzzīmēts bez nomaiņas, tad viss mainās. Saskaņā ar šo pieņēmumu notikumi A un B nav neatkarīgi. Pirmo reizi uzzīmējot baltu marmoru, mainās melnā marmora zīmēšanas varbūtība otrajā zīmējumā un tā tālāk. Citiem vārdiem sakot, katrai izlozei ir ietekme uz nākamo izlozi, un tāpēc atsevišķi izlozes nav neatkarīgas.
Atšķirība starp savstarpēji izslēdzošiem un neatkarīgiem notikumiem
- Notikumu savstarpēja ekskluzivitāte nozīmē, ka starp A un B kopām nepārklājas. Notikumu neatkarība nozīmē, ka A notikums neietekmē B notikumus.
- Ja divi notikumi A un B viens otru izslēdz, tad P (A∩B) = 0.
- Ja divi notikumi A un B ir neatkarīgi, tad P (A∩B) = P (A). P (B)
