Varbūtības sadalījuma funkcija pret varbūtības blīvuma funkciju
Varbūtība ir notikuma iespējamība. Šī ideja ir ļoti izplatīta, un to bieži lieto ikdienas dzīvē, kad mēs novērtējam savas iespējas, darījumus un daudzas citas lietas. Šīs vienkāršās koncepcijas attiecināšana uz lielāku notikumu kopumu ir nedaudz sarežģītāka. Piemēram, mēs nevaram viegli noskaidrot izredzes laimēt loteriju, taču ir ērti, drīzāk intuitīvi teikt, ka pastāv varbūtība, ka viens no sešiem, ka mēs iemetīsim kauliņus, saņemsim sesto numuru.
Kad notikumu skaits, kas var notikt, kļūst arvien lielāks vai individuālo iespēju skaits ir liels, šī diezgan vienkāršā varbūtības ideja neizdodas. Tāpēc tam jāpiešķir stingra matemātiska definīcija, pirms tam pievērsties sarežģītākām problēmām.
Kad notikumu skaits, kas var notikt vienā situācijā, ir liels, nav iespējams katru notikumu uzskatīt atsevišķi kā par izmesto kauliņu piemēru. Tādējādi viss notikumu kopums tiek apkopots, ieviešot nejaušā mainīgā jēdzienu. Tas ir mainīgais, kas var pieņemt dažādu notikumu vērtības konkrētajā situācijā (vai izlases telpā). Tas dod matemātisku jēgu vienkāršiem situācijas notikumiem un matemātisku veidu, kā uzrunāt notikumu. Precīzāk, nejaušs mainīgais ir reālās vērtības funkcija pār izlases telpas elementiem. Nejaušie mainīgie var būt vai nu diskrēti, vai nepārtraukti. Parasti tos apzīmē ar angļu alfabēta lielajiem burtiem.
Varbūtības sadalījuma funkcija (vai vienkārši varbūtības sadalījums) ir funkcija, kas piešķir varbūtības vērtības katram notikumam; ti, tas nodrošina saistību ar varbūtībām vērtībām, kuras var iegūt nejaušais mainīgais. Varbūtību sadalījuma funkcija ir definēta diskrētiem nejaušiem mainīgajiem.
Varbūtības blīvuma funkcija ir nepārtrauktā nejaušības lieluma varbūtības sadalījuma funkcijas ekvivalents, dod varbūtību, ka kāds nejaušs mainīgais uzņem noteiktu vērtību.
Ja X ir diskrēts nejaušs mainīgais, funkciju, kas dota kā f (x) = P (X = x) katram x diapazonā X, sauc par varbūtības sadalījuma funkciju. Funkcija var kalpot kā varbūtības sadalījuma funkcija tikai tad, ja funkcija atbilst šādiem nosacījumiem.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
Funkciju f (x), kas definēta reālo skaitļu kopā, sauc par nepārtrauktā nejaušā lieluma X varbūtības blīvuma funkciju tikai un vienīgi tad, ja
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx jebkurām reālām konstantēm a un b.
Varbūtības blīvuma funkcijai jāatbilst arī šādiem nosacījumiem.
1. f (x) ≥ 0 visiem x: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
Gan varbūtības sadalījuma funkciju, gan varbūtības blīvuma funkciju izmanto, lai attēlotu varbūtību sadalījumu izlases telpā. Parasti tos sauc par varbūtības sadalījumiem.
Statistiskajai modelēšanai tiek atvasinātas standarta varbūtības blīvuma funkcijas un varbūtību sadalījuma funkcijas. Normālais sadalījums un standarta normālais sadalījums ir nepārtrauktu varbūtību sadalījumu piemēri. Binomiālais sadalījums un Puasona sadalījums ir diskrētu varbūtības sadalījumu piemēri.
Kāda ir atšķirība starp varbūtības sadalījumu un varbūtības blīvuma funkciju?
• Varbūtības sadalījuma funkcija un varbūtības blīvuma funkcija ir funkcijas, kas noteiktas visā izlases telpā, lai katram elementam piešķirtu attiecīgu varbūtības vērtību.
• Varbūtības sadalījuma funkcijas ir noteiktas diskrētajiem nejaušajiem mainīgajiem, savukārt varbūtības blīvuma funkcijas ir noteiktas nepārtrauktajiem nejaušajiem mainīgajiem.
• Varbūtības vērtību (ti, varbūtības sadalījumu) sadalījumu vislabāk attēlo varbūtības blīvuma funkcija un varbūtības sadalījuma funkcija.
• Varbūtības sadalījuma funkciju tabulā var attēlot kā vērtības, taču varbūtības blīvuma funkcijai tas nav iespējams, jo mainīgais ir nepārtraukts.
• Plānojot, varbūtības sadalījuma funkcija dod joslu diagrammu, bet varbūtības blīvuma funkcija - līkni.
• Varbūtības sadalījuma funkcijas stieņu augstumam / garumam jāpapildina 1, bet laukumam zem varbūtības blīvuma funkcijas līknes - 1.
• Abos gadījumos visām funkcijas vērtībām jābūt negatīvām.
