Diskrētā funkcija pret nepārtraukto funkciju
Funkcijas ir viena no vissvarīgākajām matemātisko objektu klasēm, kas tiek plaši izmantota gandrīz visās matemātikas apakš jomās. Tā kā to nosaukumi liecina gan par diskrētām, gan ar nepārtrauktām funkcijām, tie ir divi īpaši funkciju veidi.
Funkcija ir saistība starp divām kopām, kas definētas tā, ka katram pirmās kopas elementam vērtība, kas tai atbilst otrajā kopā, ir unikāla. Ļaujiet f būt funkcijai, kas definēta no kopas A uz kopu B. Tad katram x ϵ A simbols f (x) apzīmē B kopas unikālo vērtību, kas atbilst x. To sauc par x attēlu zem f. Tāpēc sakarība f no A uz B ir funkcija, ja un tikai tad, ja katrs xϵ A un y ϵ A; ja x = y, tad f (x) = f (y). A kopu sauc par funkcijas f domēnu, un tā ir kopa, kurā funkcija ir definēta.
Piemēram, ņemiet vērā sakarību f no R uz R, ko katram xϵ A nosaka f (x) = x + 2. Šī ir funkcija, kuras domēns ir R, tāpat kā katram reālajam skaitlim x un y, x = y nozīmē f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). Bet sakarība g no N uz N, ko nosaka g (x) = a, kur 'a' ir x pamatfaktori, nav funkcija kā g (6) = 3, kā arī g (6) = 2.
Kas ir diskrēta funkcija?
Diskrētā funkcija ir funkcija, kuras domēns ir ne vairāk kā saskaitāms. Tas vienkārši nozīmē, ka ir iespējams izveidot sarakstu, kurā būtu iekļauti visi domēna elementi.
Jebkurš galīgais komplekts ir ne vairāk kā saskaitāms. Dabisko skaitļu kopa un racionālo skaitļu kopa ir piemēri ne vairāk kā saskaitāmām bezgalīgām kopām. Reālo skaitļu kopa un iracionālo skaitļu kopa nav saskaitāma. Abi komplekti nav saskaitāmi. Tas nozīmē, ka nav iespējams izveidot sarakstu, kurā būtu iekļauti visi šo kopu elementi.
Viena no izplatītākajām diskrētajām funkcijām ir faktoriālā funkcija. f: NU {0} → N rekursīvi noteikts ar f (n) = nf (n-1) katram n ≥ 1 un f (0) = 1 tiek saukts par faktoriālo funkciju. Ievērojiet, ka tā domēns NU {0} ir maksimāli saskaitāms.
Kas ir nepārtraukta funkcija?
Ļaujiet f būt tādai funkcijai, ka katram k f apgabalā f (x) → f (k) kā x → k. Tad f ir nepārtraukta funkcija. Tas nozīmē, ka ir iespējams patvaļīgi padarīt f (x) tuvu f (k), padarot x pietiekami tuvu k katram k f apgabalā.
Apsveriet funkciju f (x) = x + 2 uz R. Var redzēt, ka kā x → k, x + 2 → k + 2 tas ir f (x) → f (k). Tāpēc f ir nepārtraukta funkcija. Tagad apsveriet g pozitīvajiem reālajiem skaitļiem g (x) = 1, ja x> 0, un g (x) = 0, ja x = 0. Tad šī funkcija nav nepārtraukta funkcija, jo g (x) robeža nepastāv (un līdz ar to tas nav vienāds ar g (0)) kā x → 0.
Kāda ir atšķirība starp diskrēto un nepārtraukto funkciju?
• Diskrētā funkcija ir funkcija, kuras domēns ir ne vairāk kā saskaitāms, bet tam nav jābūt nepārtrauktu funkciju gadījumā.
• Visām nepārtrauktām funkcijām ƒ ir īpašība, ka ƒ (x) → ƒ (k) kā x → k katram x un katram k domēna of domēnā, bet dažās diskrētās funkcijās tā nav.
