Paralelogramma pret četrstūri
Četrstūri un paralelogrami ir daudzstūri, kas atrodami Eiklida ģeometrijā. Paralelogramma ir īpašs četrstūra gadījums. Četrstūri var būt vai nu plakani (2D), vai trīsdimensiju, savukārt paralelogrami vienmēr ir plakani.
Četrstūris
Četrstūris ir daudzstūris ar četrām pusēm. Tam ir četras virsotnes, un iekšējo leņķu summa ir 3600 (2π rad). Četrstūrus klasificē pa vidu krustojušās un vienkāršās četrstūru kategorijās. Paškrustojošajiem četrstūriem ir divas vai vairākas malas, kas šķērso viena otru, un mazākas ģeometriskas figūras (piemēram, četrstūra iekšpusē tiek veidoti trīsstūri).
Vienkāršie četrstūri ir sadalīti arī izliektajos un ieliektajos četrstūros. Ieliektiem četrstūriem blakus ir malas, kas figūras iekšpusē veido refleksus leņķus. Vienkāršie četrstūri, kuriem iekšēji nav refleksu leņķu, ir izliekti četrstūri. Izliektajiem četrstūriem vienmēr var būt tesselācijas.
Lielākā daļa četrstūru ģeometrijas sākotnējos līmeņos attiecas uz izliektajiem četrstūriem. Daži četrstūri mums ir ļoti pazīstami no pamatskolas laikiem. Tālāk ir parādīta diagramma, kurā parādīti dažādi izliekti četrstūri.
Paralelograms
Paralelogramu var definēt kā ģeometrisku figūru ar četrām malām, pretējām pusēm paralēlām viena otrai. Precīzāk, tas ir četrstūris ar diviem paralēlu malu pāriem. Šis paralēlais raksturs piešķir paralelogramiem daudzus ģeometriskos raksturlielumus.
Četrstūris ir paralelograms, ja tiek atrasti šādi ģeometriskie raksturlielumi.
• Divi pretējo malu pāri ir vienāda garuma. (AB = DC, AD = BC)
• Divi pretēju leņķu pāri ir vienāda lieluma. (
)
• Ja blakus esošie leņķi ir papildu
• Sānu pāri, kas ir pretēji viens otram, ir paralēli un vienāda garuma. (AB = DC un AB∥DC)
• diagonāles viena otru sadala (AO = OC, BO = OD)
• Katra diagonāle četrstūri sadala divos vienādos trijstūros. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Turklāt sānu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāļu kvadrātu summu. To dažreiz sauc par paralelograma likumu, un to plaši izmanto fizikā un inženierzinātnēs. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Katru no iepriekš minētajām īpašībām var izmantot kā īpašības, tiklīdz ir konstatēts, ka četrstūris ir paralelograms.
Paralelograma laukumu var aprēķināt pēc vienas puses garuma un augstuma pretējās puses reizinājuma. Tāpēc paralelograma laukumu var norādīt kā
Paralelograma laukums = pamatne × augstums = AB × h
Paralelograma laukums nav atkarīgs no atsevišķa paralelograma formas. Tas ir atkarīgs tikai no pamatnes garuma un perpendikulārā augstuma.
Ja paralelograma malas var attēlot ar diviem vektoriem, laukumu var iegūt pēc divu blakus esošo vektoru vektora produkta (šķērsprodukta) lieluma.
Ja malas AB un AD attēlo attiecīgi vektori (
) un (
), paralelograma laukumu norāda
kur α ir leņķis starp
un
Tālāk ir norādītas dažas paralelograma uzlabotās īpašības;
• Paralelograma laukums ir divreiz lielāks par trijstūra laukumu, ko izveido jebkura tā diagonāle.
• Paralelograma laukumu uz pusēm sadala jebkura līnija, kas iet caur viduspunktu.
• Jebkura afēras transformācija, kas nav deģenerēta, pārnes paralelogramu uz citu paralelogramu
• Paralelogramam ir 2. kārtas rotācijas simetrija
• Attālumu summa no jebkura paralelograma iekšējā punkta līdz sāniem nav atkarīga no punkta atrašanās vietas
Kāda ir atšķirība starp paralelogramu un četrstūri?
• Četrstūri ir daudzstūri ar četrām pusēm (dažreiz tos sauc arī par tetragoniem), savukārt paralelograms ir īpašs četrstūra veids.
• Četrstūru malas var būt dažādās plaknēs (3D telpā), kamēr visas paralelograma malas atrodas vienā un tajā pašā plaknē (plakanā / divdimensiju).
• Četrstūra iekšējie leņķi var iegūt jebkuru vērtību (ieskaitot refleksos leņķus) tā, lai tie būtu līdz 3600. Paralelogramiem kā maksimālais leņķa veids var būt tikai neasie leņķi.
• Četrstūra četrpusēm var būt atšķirīgs garums, savukārt paralelograma pretējās puses vienmēr ir paralēlas viena otrai un ir vienādas garumā.
• Jebkura diagonāle sadala paralelogramu divos kongruentos trijstūros, turpretī trijstūri, ko veido vispārēja četrstūra diagonāle, ne vienmēr ir vienādi.
