Paralelograms vs Rombs
Paralelograms un rombs ir četrstūri. Šo skaitļu ģeometrija cilvēkam bija zināma tūkstošiem gadu. Šis temats ir skaidri apskatīts grieķu matemātiķa Eiklida grāmatā “Elementi”.
Paralelograms
Paralelogramu var definēt kā ģeometrisku figūru ar četrām malām, pretējām pusēm paralēlām viena otrai. Precīzāk, tas ir četrstūris ar diviem paralēlu malu pāriem. Šis paralēlais raksturs piešķir paralelogramiem daudzus ģeometriskos raksturlielumus.
Četrstūris ir paralelograms, ja tiek atrasti šādi ģeometriskie raksturlielumi.
• Divi pretējo malu pāri ir vienāda garuma. (AB = DC, AD = BC)
• Divi pretēju leņķu pāri ir vienāda lieluma. (
)
• Ja blakus esošie leņķi ir papildu
• Sānu pāri, kas ir pretēji viens otram, ir paralēli un vienāda garuma. (AB = DC un AB∥DC)
• diagonāles viena otru sadala (AO = OC, BO = OD)
• Katra diagonāle četrstūri sadala divos vienādos trijstūros. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Turklāt sānu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāļu kvadrātu summu. To dažreiz sauc par paralelograma likumu, un to plaši izmanto fizikā un inženierzinātnēs. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Katru no iepriekš minētajām īpašībām var izmantot kā īpašības, tiklīdz ir konstatēts, ka četrstūris ir paralelograms.
Paralelograma laukumu var aprēķināt pēc vienas puses garuma un augstuma pretējās puses reizinājuma. Tāpēc paralelograma laukumu var norādīt kā
Paralelograma laukums = pamatne × augstums = AB × h
Paralelograma laukums nav atkarīgs no atsevišķa paralelograma formas. Tas ir atkarīgs tikai no pamatnes garuma un perpendikulārā augstuma.
Ja paralelograma malas var attēlot ar diviem vektoriem, laukumu var iegūt pēc divu blakus esošo vektoru vektora produkta (šķērsprodukta) lieluma.
Ja malas AB un AD attēlo attiecīgi vektori (
) un (
), paralelograma laukumu norāda
kur α ir leņķis starp
un
Tālāk ir norādītas dažas paralelograma uzlabotās īpašības;
• Paralelograma laukums ir divreiz lielāks par trijstūra laukumu, ko izveido jebkura tā diagonāle.
• Paralelograma laukumu uz pusēm sadala jebkura līnija, kas iet caur viduspunktu.
• Jebkura afēras transformācija, kas nav deģenerēta, pārnes paralelogramu uz citu paralelogramu
• Paralelogramam ir 2. kārtas rotācijas simetrija
• Attālumu summa no jebkura paralelograma iekšējā punkta līdz sāniem nav atkarīga no punkta atrašanās vietas
Rombs
Četrstūris ar visām pusēm ir vienāda garuma, un to sauc par rombu. To sauc arī par vienādmalu četrstūri. Tiek uzskatīts, ka tam ir dimanta forma, līdzīga tai, kāda ir spēļu kārtīs.
Rombs ir arī paralelograma īpašs gadījums. To var uzskatīt par paralelogramu, kurā visas četras malas ir vienādas. Papildus paralelograma īpašībām tam ir šādas īpašas īpašības.
• Rombas diagonāles viena otru sadala taisnā leņķī; diagonāles ir perpendikulāras.
• Diagonāles dala divus pretējos iekšējos leņķus.
• Vismaz divas blakus esošās malas ir vienāda garuma.
Rombu laukumu var aprēķināt ar to pašu metodi kā paralelogramu.
Kāda ir atšķirība starp paralelogramu un rombu?
• Paralelograms un rombs ir četrstūri. Rombs ir īpašs paralelogramu gadījums.
• Jebkura laukumu var aprēķināt, izmantojot formulu bāzes × augstums.
• ņemot vērā diagonāles;
- Paralelograma diagonāles viena otru sadala divās daļās un paralelogramu šķeļ divās daļās, lai izveidotu divus kongruentus trijstūrus.
- Rombu diagonāles viena otru šķērso taisnā leņķī, un izveidotie trijstūri ir vienādmalu.
• ņemot vērā iekšējos leņķus;
- paralelograma iekšējie leņķi ir vienāda lieluma. Divi blakus esošie iekšējie leņķi ir papildu.
- Rumbas iekšējos leņķus dala pa diagonālēm.
• ņemot vērā sānus;
- paralelogramā sānu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāles kvadrātu summu (paralelograma likums).
- Tā kā visas četras malas ir vienādas rombā, četras reizes sānu kvadrāts ir vienāds ar diagonāles kvadrātu summu.
