Paralelogramma pret taisnstūri
Paralelograms un taisnstūris ir četrstūri. Šo skaitļu ģeometrija cilvēkam bija zināma tūkstošiem gadu. Šis temats ir skaidri apskatīts grieķu matemātiķa Eiklida grāmatā “Elementi”.
Paralelograms
Paralelogramu var definēt kā ģeometrisku figūru ar četrām malām, pretējām pusēm paralēlām viena otrai. Precīzāk, tas ir četrstūris ar diviem paralēlu malu pāriem. Šis paralēlais raksturs piešķir paralelogramiem daudzus ģeometriskos raksturlielumus.
Četrstūris ir paralelograms, ja tiek atrasti šādi ģeometriskie raksturlielumi.
• Divi pretējo malu pāri ir vienāda garuma. (AB = DC, AD = BC)
• Divi pretēju leņķu pāri ir vienāda lieluma. (
)
• Ja blakus esošie leņķi ir papildu
• Sānu pāri, kas ir pretēji viens otram, ir paralēli un vienāda garuma. (AB = DC un AB∥DC)
• diagonāles viena otru sadala (AO = OC, BO = OD)
• Katra diagonāle četrstūri sadala divos vienādos trijstūros. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Turklāt sānu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāļu kvadrātu summu. To dažreiz sauc par paralelograma likumu, un to plaši izmanto fizikā un inženierzinātnēs. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Katru no iepriekš minētajām īpašībām var izmantot kā īpašības, tiklīdz ir konstatēts, ka četrstūris ir paralelograms.
Paralelograma laukumu var aprēķināt pēc vienas puses garuma un augstuma pretējās puses reizinājuma. Tāpēc paralelograma laukumu var norādīt kā
Paralelograma laukums = pamatne × augstums = AB × h
Paralelograma laukums nav atkarīgs no atsevišķa paralelograma formas. Tas ir atkarīgs tikai no pamatnes garuma un perpendikulārā augstuma.
Ja paralelograma malas var attēlot ar diviem vektoriem, laukumu var iegūt pēc divu blakus esošo vektoru vektora produkta (šķērsprodukta) lieluma.
Ja malas AB un AD attēlo attiecīgi vektori (
) un (
), paralelograma laukumu norāda
kur α ir leņķis starp
un
Tālāk ir norādītas dažas paralelograma uzlabotās īpašības;
• Paralelograma laukums ir divreiz lielāks par trijstūra laukumu, ko izveido jebkura tā diagonāle.
• Paralelograma laukumu uz pusēm sadala jebkura līnija, kas iet caur viduspunktu.
• Jebkura afēras transformācija, kas nav deģenerēta, pārnes paralelogramu uz citu paralelogramu
• Paralelogramam ir 2. kārtas rotācijas simetrija
• Attālumu summa no jebkura paralelograma iekšējā punkta līdz sāniem nav atkarīga no punkta atrašanās vietas
Taisnstūris
Četrstūri ar četriem taisniem leņķiem sauc par taisnstūri. Tas ir īpašs paralelograma gadījums, kad leņķi starp jebkurām divām blakus esošajām pusēm ir taisni leņķi.
Papildus visām paralelograma īpašībām, ņemot vērā taisnstūra ģeometriju, var atpazīt papildu raksturlielumus.
• Katrs leņķis virsotnēs ir taisns leņķis.
• Diagonāles ir vienāda garuma, un tās viena otru sadala divās daļās. Tāpēc arī dalītās sekcijas ir vienādas garumā.
• Diagonāļu garumu var aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu:
PQ 2 + PS 2 = SQ 2
• Platības formula samazinās līdz garuma un platuma reizinājumam.
Taisnstūra laukums = garums × platums
• Taisnstūrī atrodamas daudzas simetriskas īpašības, piemēram;
- Taisnstūris ir ciklisks, kur visas virsotnes var novietot uz apļa perimetru.
- Tas ir vienstūrveida, kur visi leņķi ir vienādi.
- Tas ir izogonāls, kur visi stūri atrodas vienā simetrijas orbītā.
- Tam ir gan atstarošanas simetrija, gan rotācijas simetrija.
Kāda ir atšķirība starp paralelogramu un taisnstūri?
• Paralelograms un taisnstūris ir četrstūri. Taisnstūris ir īpašs paralelogramu gadījums.
• Jebkura laukumu var aprēķināt, izmantojot formulu bāzes × augstums.
• ņemot vērā diagonāles;
- Paralelograma diagonāles viena otru sadala divās daļās un paralelogramu šķeļ divās daļās, lai izveidotu divus kongruentus trijstūrus.
- taisnstūra diagonāles ir vienādas garumā un viena otru sadala divpusēji; dalītās sekcijas ir vienāda garuma. Diagonāles taisnstūri dala divos vienādos taisnstūra trijstūros.
• ņemot vērā iekšējos leņķus;
- paralelograma iekšējie leņķi ir vienāda lieluma. Divi blakus esošie iekšējie leņķi ir papildu
- Visi četri taisnstūra iekšējie leņķi ir taisni leņķi.
• ņemot vērā sānus;
- paralelogramā sānu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāles kvadrātu summu (paralelograms)
- Taisnstūros divu blakus esošo malu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāles kvadrātu galos. (Pitagora likums)
