Cardinal vs Ordinal
Mūsu ikdienas dzīvē numuru izmantošana dažādās situācijās var būt dažāda. Piemēram, skaitot, lai noskaidrotu objektu kolekcijas lielumu, mēs tos skaitām kā vienu, divus, trīs utt. Kad mēs vēlamies kaut ko saskaitīt, lai iegūtu priekšstatu par objektu stāvokli, mēs tos skaitām kā pirmo, otro, trešo un tā tālāk. Pirmajā skaitīšanas formā skaitļi tiek uzskatīti par kardināliem skaitļiem. Otrajā skaitīšanas formā skaitļi tiek uzskatīti par kārtas skaitļiem. Šajā kontekstā jēdzieni kardināls un ordināli pilnībā ir valodniecības jautājums; kardināls un kārtas vārds ir īpašības vārdi.
Tomēr jēdziena attiecināšana uz matemātikas kopām atklāj daudz dziļāku un plašāku perspektīvu, un to nevar traktēt vienkārši. Šajā rakstā mēs centīsimies izprast kardinālu un kārtas skaitļu pamatjēdzienus matemātikā.
Formālās kardinālu un kārtas skaitļu definīcijas ir sniegtas kopu teorijā. Definīcijas ir sarežģītas, un to pilnīgai izpratnei ir nepieciešamas pamatzināšanas kopu teorijā. Tāpēc mēs pievērsīsimies pāris piemēriem, lai saprastu jēdzienus heuristiski.
Apsveriet abus komplektus {1,3,6,4,5,2} un {autobuss, automašīna, prāmis, vilciens, lidmašīna, helikopters}. Katrā komplektā ir uzskaitīts elementu kopums, un, ja mēs saskaitām elementu skaitu, ir skaidrs, ka katram ir vienāds elementu skaits, kas ir 6. Nokļūstot pie šī secinājuma, mēs esam ņēmuši vienas kopas lielumu un salīdzinājuši ar citu, izmantojot a numuru. Šādu skaitli sauc par kardinālu. Tāpēc mēs varam teikt, ka kardināls ir skaitlis, kuru mēs varam izmantot, lai salīdzinātu galīgo kopu lielumu.
Atkal pirmo skaitļu kopu var sakārtot augošā secībā, ņemot vērā katra elementa lielumu un tos salīdzinot. Pasūtīšanas laikā numuri tiek uzskatīti par kardināliem. Tāpat visu nenegatīvo veselu skaitļu kopu var sakārtot kopā; ti, {0,1,2,3,4, …..}. Bet šajā gadījumā kopas lielums kļūst bezgalīgs, un to dot ordināru izteiksmē nav iespējams. Neatkarīgi no tā, cik lielu numuru izvēlaties, lai piešķirtu kopas lielumu, tomēr no izvēlētās kopas paliks skaitļi, kas nav negatīvi veseli skaitļi.
Tāpēc matemātiķi šo bezgalīgo kardinālu (kas ir pirmais) definē kā Aleph-0, kas rakstīts kā א (pirmais burts ebreju alfabētā). Formāli kārtas numurs ir labi sakārtota komplekta pasūtījuma veids. Tāpēc galīgo kopu kārtas numuru var norādīt ar kardinālajiem skaitļiem, bet bezgalīgajām kopām kārtas skaitli norāda transfinīti skaitļi, piemēram, Aleph-0.
Kāda ir atšķirība starp kardināliem un kārtas numuriem?
• Kardinālais numurs ir skaitlis, ko var izmantot, lai skaitītu vai norādītu ierobežota pasūtīta komplekta lielumu. Visi kardinālie skaitļi ir parastie.
• Kārtas skaitļi ir skaitļi, ko izmanto, lai noteiktu gan galīgo, gan bezgalīgo sakārtoto kopu lielumu. Galīgo sakārtoto kopu lielumu nosaka parastie hindu-arābu algebriskie cipari, un bezgalīgo kopu lielumu norāda transfinītie skaitļi.
