Atšķirība Starp Integrāciju Un Summēšanu

2024 Autors: Mildred Bawerman | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-16 08:40

Integrācija vs summēšana

Augstāk par vidusskolas matemātiku matemātiskajās operācijās bieži sastopama integrācija un summēšana. Šķiet, ka tos izmanto kā dažādus instrumentus un dažādās situācijās, taču viņiem ir ļoti ciešas attiecības.

Vairāk par Summēšanu

Apkopošana ir skaitļu secības pievienošanas darbība, un darbību bieži apzīmē ar grieķu lielo burtu sigma letter. To lieto, lai saīsinātu summēšanu un būtu vienāds ar secības summu / kopsummu. Tos bieži izmanto, lai attēlotu sērijas, kas būtībā ir apkopotas bezgalīgas sekvences. Tos var izmantot arī, lai norādītu vektoru, matricu vai polinomu summu.

Apkopošanu parasti veic vērtību diapazonam, ko var attēlot ar vispārēju terminu, piemēram, sērijai, kurai ir kopīgs termins. Summas sākuma punkts un beigu punkts ir attiecīgi zināmi kā summēšanas apakšējā un augšējā robeža.

Piemēram, secības a ₁, ₂, ₃, ₄,…, a _{n summa} ir ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n, kuru var viegli attēlot, izmantojot summēšanas apzīmējumu kā ∑ ⁿ _{i = 1} a _i; i sauc par summēšanas indeksu.

Summā, pamatojoties uz lietojumprogrammu, tiek izmantotas daudzas variācijas. Dažos gadījumos augšējo robežu un apakšējo robežu var norādīt kā intervālu vai diapazonu, piemēram, ∑ _1≤i≤100 a _i un ∑ _{i∈ [1100]} a _i. Vai arī to var dot kā skaitļu kopu, piemēram, ∑ _i∈P a _i, kur P ir noteikta kopa.

Dažos gadījumos var izmantot divas vai vairākas sigmas zīmes, taču tās var vispārināt šādi; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Arī summēšana notiek pēc daudziem algebriskiem noteikumiem. Tā kā iegultā darbība ir papildinājums, daudzus algebras kopīgos noteikumus var piemērot pašām summām un atsevišķiem summēšanas attēlotajiem noteikumiem.

Vairāk par integrāciju

Integrāciju definē kā reverso diferenciācijas procesu. Bet ģeometriskajā skatījumā to var uzskatīt arī par laukumu, ko norobežo funkcijas un ass līkne. Tāpēc, aprēķinot laukumu, iegūst noteikta integrāla vērtību, kā parādīts diagrammā.

Attēlu avots:

Noteiktā integrāla vērtība faktiski ir mazo sloksņu summa līknes iekšpusē un ass. Katras sloksnes laukums ir augstums × platums attiecīgās ass punktā. Platums ir vērtība, kuru mēs varam izvēlēties, teiksim ∆x. Un augstums ir aptuveni funkcijas vērtība attiecīgajā punktā, teiksim f (x _i). No diagrammas ir redzams, ka jo mazākas sloksnes ir labākas, tās labāk iederas ierobežotā laukuma iekšienē, tādējādi labāk tuvinot vērtību.

Tātad noteiktais integrālis I starp punktiem a un b (ti, intervālā [a, b], kur a1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, kur n ir sloksņu skaits (n = (ba) / ∆x). Šo laukuma summēšanu var viegli attēlot, izmantojot summēšanas apzīmējumu, jo I ≅ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Tā kā aproksimācija ir labāka, ja ∆x ir mazāks, mēs varam aprēķināt vērtību, kad ∆x → 0. Tāpēc ir pamatoti teikt I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Kā vispārinājumu no iepriekš minētā jēdziena, mēs varam izvēlēties ∆x, pamatojoties uz aplūkoto intervālu, ko indeksē i (apgabala platumu izvēloties, pamatojoties uz pozīciju). Tad mēs iegūstam

I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x _i = _a ∫ ^b f (x) dx

To sauc par funkcijas f (x) Reimann integrālu intervālā [a, b]. Šajā gadījumā a un b ir pazīstami kā integrāla augšējā un apakšējā robeža. Reimann integral ir visu integrācijas metožu pamatforma.

Būtībā integrācija ir laukuma summēšana, kad taisnstūra platums ir bezgalīgi mazs.

Kāda ir atšķirība starp integrāciju un summēšanu?

• Apkopošana ir skaitļu secības summēšana. Parasti summēšana tiek sniegta šādā formā ∑ ⁿ _{i = 1} a _i, kad secības noteikumiem ir paraugs un tos var izteikt, izmantojot vispārīgu terminu.

• Integrācija būtībā ir laukums, ko ierobežo funkcijas līkne, ass un augšējā un apakšējā robeža. Šo platību var norādīt kā daudz mazāku platību summu, kas iekļautas norobežotajā apgabalā.

• Apkopošana ietver diskrētās vērtības ar augšējo un apakšējo robežu, savukārt integrācija ietver nepārtrauktas vērtības.

• Integrāciju var interpretēt kā īpašu summēšanas formu.

• Ciparu skaitļošanas metodēs integrācija vienmēr tiek veikta kā summēšana.