Nejaušie mainīgie pret varbūtības sadalījumu
Statistiskie eksperimenti ir nejauši eksperimenti, kurus var atkārtot bezgalīgi ar zināmu rezultātu kopumu. Ar šādiem eksperimentiem ir saistīti gan nejauši mainīgie, gan varbūtības sadalījumi. Katram nejaušam mainīgajam ir saistīts varbūtības sadalījums, ko nosaka funkcija, ko sauc par kumulatīvo sadalījuma funkciju.
Kas ir izlases mainīgais?
Nejaušais mainīgais ir funkcija, kas piešķir skaitliskas vērtības statistiskā eksperimenta rezultātiem. Citiem vārdiem sakot, tā ir funkcija, kas definēta no statistiskā eksperimenta izlases vietas reālo skaitļu kopā.
Piemēram, apsveriet nejaušu eksperimentu, kurā divreiz pavērsiet monētu. Iespējamie rezultāti ir HH, HT, TH un TT (H galvas, T pasakas). Ļaujiet mainīgajam X būt eksperimentā novēroto galvu skaitam. Tad X var iegūt vērtības 0, 1 vai 2, un tas ir nejaušs mainīgais. Šeit nejaušais mainīgais X atkārto kopu S = {HH, HT, TH, TT} (parauga telpa) ar kopu {0, 1, 2} tādā veidā, ka HH tiek piesaistīts 2, HT un TH tiek pieskaitīti 1 un TT ir pieskaitīti 0. Funkcijas apzīmējumā to var rakstīt šādi: X: S → R kur X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 un X (TT) = 0.
Ir divu veidu nejaušie mainīgie: diskrēti un nepārtraukti, attiecīgi iespējamo vērtību skaits, ko nejaušais mainīgais var pieņemt, ir ne vairāk kā saskaitāms vai nē. Iepriekšējā piemērā nejaušais mainīgais X ir diskrēts nejaušs mainīgais, jo {0, 1, 2} ir ierobežota kopa. Tagad apsveriet statistikas eksperimentu, lai atrastu klases studentu svaru. Ļaujiet Y būt nejaušam mainīgajam, kas definēts kā studenta svars. Y var noteikt jebkuru reālu vērtību noteiktā intervālā. Tādējādi Y ir nepārtraukts nejaušs mainīgais.
Kas ir varbūtību sadalījums?
Varbūtības sadalījums ir funkcija, kas raksturo varbūtību, ka nejaušs mainīgais iegūst noteiktas vērtības.
Funkciju, ko sauc par kumulatīvo sadalījuma funkciju (F), var definēt no reālo skaitļu kopas līdz reālo skaitļu kopai kā F (x) = P (X ≤ x) (varbūtība, ka X ir mazāka vai vienāda ar x) attiecībā uz katrs iespējamais iznākums x. Tagad X kumulatīvo sadalījuma funkciju pirmajā piemērā var uzrakstīt kā F (a) = 0, ja a <0; F (a) = 0,25, ja 0≤a <1; F (a) = 0,75, ja 1≤a <2 un F (a) = 1, ja a ≥2.
Diskrētu nejaušu mainīgo gadījumā funkciju no iespējamo rezultātu kopas līdz reālo skaitļu kopai var definēt tādā veidā, ka ƒ (x) = P (X = x) (varbūtība, ka X ir vienāds ar x) katram iespējamajam iznākumam x. Šo konkrēto funkciju ƒ sauc par nejaušā mainīgā X varbūtības masas funkciju. Tagad X varbūtības masas funkciju pirmajā konkrētajā piemērā var uzrakstīt kā ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 un citādi ƒ (x) = 0. Tādējādi varbūtības masas funkcija kopā ar kumulatīvo sadalījuma funkciju aprakstīs X varbūtības sadalījumu pirmajā piemērā.
Nepārtrauktu nejaušu mainīgo gadījumā funkciju, ko sauc par varbūtības blīvuma funkciju (ƒ), var definēt kā ƒ (x) = dF (x) / dx katram x, kur F ir nepārtrauktā nejaušā lieluma kumulatīvā sadalījuma funkcija. Ir viegli redzēt, ka šī funkcija apmierina ∫ƒ (x) dx = 1. Varbūtības blīvuma funkcija kopā ar kumulatīvo sadalījuma funkciju apraksta nepārtrauktā nejaušā lieluma varbūtības sadalījumu. Piemēram, parasto sadalījumu (kas ir nepārtraukts varbūtības sadalījums) apraksta, izmantojot varbūtības blīvuma funkciju ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
Kāda ir atšķirība starp nejaušajiem mainīgajiem un varbūtības sadalījumu?
• Nejaušais mainīgais ir funkcija, kas saista parauga telpas vērtības ar reālu skaitli.
• Varbūtības sadalījums ir funkcija, kas vērtības, ko nejaušais mainīgais var iegūt, saista ar attiecīgo iestāšanās varbūtību.
