Lineārie vs nelineārie diferenciālvienādojumi
Vienādojums, kas satur vismaz vienu diferenciālā koeficientu vai nezināma mainīgā lieluma atvasinājumu, ir pazīstams kā diferenciālvienādojums. Diferenciālvienādojums var būt lineārs vai nelineārs. Šī raksta darbības joma ir izskaidrot, kas ir lineārais diferenciālvienādojums, kas ir nelineārs diferenciālvienādojums un kāda ir atšķirība starp lineārajiem un nelineārajiem diferenciālvienādojumiem.
Kopš matemātiķu, piemēram, Ņūtona un Leibnicas, aprēķina 18. gadsimtā, diferenciālvienādojumam ir bijusi svarīga loma matemātikas stāstā. Diferenciālvienādojumiem ir liela nozīme matemātikā to pielietojuma klāsta dēļ. Diferenciālvienādojumi ir katra modeļa pamatā, kuru mēs izstrādājam, lai izskaidrotu jebkuru pasaules scenāriju vai notikumu neatkarīgi no tā, vai tas ir fizikā, inženierzinātnēs, ķīmijā, statistikā, finanšu analīzē vai bioloģijā (saraksts ir bezgalīgs). Faktiski, līdz aprēķins kļuva par vispāratzītu teoriju, nebija pieejami atbilstoši matemātiskie rīki, lai analizētu interesējošās dabas problēmas.
Rezultāti, kas iegūti, izmantojot konkrētu aprēķina metodi, var būt ļoti sarežģīti un dažreiz nav atrisināmi. Tomēr ir daži, kurus mēs varam atrisināt, taču tie var izskatīties līdzīgi un mulsinoši. Tāpēc diferenciālvienādojumus vieglākai identifikācijai iedala kategorijās pēc to matemātiskās uzvedības. Lineāra un nelineāra ir viena no šādām kategorijām. Ir svarīgi noteikt atšķirību starp lineārajiem un nelineārajiem diferenciālvienādojumiem.
Kas ir lineārais diferenciālvienādojums?
Pieņemsim, ka f: X → Y un f (x) = y, diferenciālvienādojums bez nezināmas funkcijas y un tās atvasinājumu nelineāriem nosacījumiem ir pazīstams kā lineārs diferenciālvienādojums.
Tas nosaka nosacījumu, ka y nevar būt augstāki indeksu termini, piemēram, y 2, y 3,… un atvasinājumu reizinājumi, piemēram,
Tas arī nevar saturēt nelineārus terminus, piemēram, Sin y, e y ^ -2 vai ln y. Tas ir formā,
kur y un g ir x funkcijas. Vienādojums ir n kārtas diferenciālvienādojums, kas ir augstākās kārtas atvasinājuma indekss.
Lineārā diferenciālvienādojumā diferenciālis operators ir lineārs operators, un risinājumi veido vektoru telpu. Risinājumu kopas lineārā rakstura rezultātā lineārā risinājumu kombinācija ir arī diferenciālvienādojuma risinājums. Tas ir, ja y 1 un y 2 ir diferenciālvienādojuma risinājumi, tad risinājums ir arī C 1 y 1 + C 2 y 2.
Vienādojuma linearitāte ir tikai viens klasifikācijas parametrs, un to var turpmāk kategorizēt homogēnos vai nehomogēnos un parastos vai daļējos diferenciālvienādojumos. Ja funkcija ir g = 0, tad vienādojums ir lineārs viendabīgs diferenciālvienādojums. Ja f ir divu vai vairāku neatkarīgu mainīgo (f: X, T → Y) un f (x, t) = y funkcija, tad vienādojums ir lineārs daļējs diferenciālvienādojums.
Diferenciālvienādojuma risināšanas metode ir atkarīga no diferenciālvienādojuma veida un koeficientiem. Vieglākais gadījums rodas, ja koeficienti ir nemainīgi. Klasisks piemērs šai lietai ir Ņūtona otrais kustības likums un tā dažādie pielietojumi. Ņūtona otrais likums rada otrās kārtas lineāro diferenciālo vienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem.
Kas ir nelineārs diferenciālvienādojums?
Vienādojumi, kas satur nelineārus terminus, ir pazīstami kā nelineāri diferenciālvienādojumi.
Visi iepriekš minētie ir nelineāri diferenciālvienādojumi. Nelineāros diferenciālvienādojumus ir grūti atrisināt, tāpēc, lai iegūtu pareizu risinājumu, jāveic cieša izpēte. Daļēju diferenciālo vienādojumu gadījumā lielākajai daļai vienādojumu nav vispārēja risinājuma. Tāpēc katrs vienādojums jāapstrādā neatkarīgi.
Navjē-Stoksa vienādojums un Eulera vienādojums šķidruma dinamikā, Einšteina vispārējās relativitātes lauka vienādojumi ir labi zināmi nelineāri daļēji diferenciālvienādojumi. Dažreiz Lagranža vienādojuma piemērošana mainīgajai sistēmai var izraisīt nelineāru daļēju diferenciālo vienādojumu sistēmu.
Kāda ir atšķirība starp lineārajiem un nelineārajiem diferenciālvienādojumiem?
• Diferenciālvienādojums, kurā ir tikai nezināmā vai atkarīgā mainīgā lieluma lineārie nosacījumi un tā atvasinājumi, ir pazīstams kā lineārs diferenciālvienādojums. Tam nav termina ar atkarīgo mainīgo, kura indekss ir lielāks par 1, un tajā nav neviena no tā atvasinājumiem. Tam nevar būt nelineāras funkcijas, piemēram, trigonometriskās funkcijas, eksponenciālās funkcijas un logaritmiskās funkcijas attiecībā uz atkarīgo mainīgo. Jebkurš diferenciālvienādojums, kas satur iepriekš minētos terminus, ir nelineārs diferenciālvienādojums.
• Lineāro diferenciālo vienādojumu risinājumi rada vektoru telpu, un diferenciālis operators ir arī lineārs operators vektoru telpā.
• Lineāro diferenciālo vienādojumu risinājumi ir salīdzinoši vieglāki, un pastāv vispārīgi risinājumi. Attiecībā uz nelineāriem vienādojumiem vairumā gadījumu vispārējs risinājums nepastāv, un risinājums var būt specifisks problēmai. Tas padara risinājumu daudz grūtāku nekā lineārie vienādojumi.
