Power Series vs Taylor Series
Matemātikā reālā secība ir sakārtots reālo skaitļu saraksts. Formāli tā ir funkcija no dabisko skaitļu kopas līdz reālo skaitļu kopai. Ja n ir secības n- tais termins, mēs secību apzīmējam ar vai ar 1, 2,…, a n, …. Piemēram, ņemiet vērā secību 1, ½, ⅓,…, 1 / n, …. To var apzīmēt kā {1 / n}.
Izmantojot secības, ir iespējams definēt sēriju. Sērija ir secības terminu summa. Tāpēc katrai secībai ir saistīta secība un otrādi. Ja {a n} ir aplūkojamā secība, tad sēriju, ko veido šī secība, var attēlot kā:
Tādējādi, iepriekšējā piemērā, saistītais sērija ir 1+ 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n + ….
Kā norāda nosaukumi, jaudas sērija ir īpašs sērijas veids, un to plaši izmanto skaitliskajā analīzē un ar to saistītajā matemātiskajā modelēšanā. Teilora sērija ir īpaša jaudas sērija, kas nodrošina alternatīvu un viegli manipulējamu veidu, kā attēlot labi zināmas funkcijas.
Kas ir Power sērija?
Jaudas sērija ir formas virkne
kas ir konverģents (iespējams) kādam intervālam, kura centrā ir c. Koeficienti a n var būt reāli vai kompleksi skaitļi, un tie nav atkarīgi no x; ti, manekena mainīgais.
Piemēram, iestatot a n = 1 katram n un c = 0, iegūst jaudas sēriju 1 + x + x 2 +….. + x n +…. Ir viegli novērot, ka tad, kad x ε (-1,1), šī jaudas sērija saplūst ar 1 / (1-x).
Jaudas sērija saplūst, kad x = c. Pārējās x vērtības, kurām jaudas sērija saplūst, vienmēr būs atvērta intervāla forma, kuras centrā ir c. Tas nozīmē, ka būs vērtība 0≤ R ≤ ∞ tā, ka katram x, kas atbilst | xc | ≤ R, jaudas sērija ir konverģenta un katram x, kas atbilst | xc |> R, jaudas sērija ir atšķirīga. Šo vērtību R sauc par jaudas sērijas konverģences rādiusu (R var iegūt jebkuru reālu vērtību vai pozitīvu bezgalību).
Jaudas sērijas var saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt, izmantojot šādus noteikumus. Apsveriet divas jaudas sērijas:
Tad,
ti, līdzīgi vārdi tiek saskaitīti vai atņemti kopā. Tāpat ir iespējams reizināt un sadalīt divas jaudas sērijas, izmantojot identitāti,
Kas ir Teilora sērija?
Teilora sērija ir definēta funkcijai f (x), kas intervālā ir bezgalīgi diferencējama. Pieņemsim, ka f (x) ir diferencējams intervālā, kura centrā ir c. Tad jaudas sērija, kuru dod
sauc par funkcijas f (x) Teilora sērijas paplašināšanu par c. (Šeit f (n) (c) apzīmē n- to atvasinājumu pie x = c). Skaitliskajā analīzē, lai aprēķinātu vērtības punktos, kur sērija ir konverģenta ar sākotnējo funkciju, tiek izmantots ierobežots terminu skaits šajā bezgalīgajā paplašinājumā.
Funkcija f (x) tiek uzskatīta par analītisku intervālā (a, b), ja katram x ε (a, b) Teilora f (x) sērija saplūst ar funkciju f (x). Piemēram, 1 / (1-x) ir analītisks attiecībā uz (-1,1), jo tā Teilora izplešanās 1 + x + x 2 +….. + x n +… saplūst ar funkciju šajā intervālā un e x ir analītisks visur, jo Teilora e x sērija saplūst ar e x katram reālajam skaitlim x.
Kāda ir atšķirība starp Power sērijām un Taylor sērijām?
1. Teilora sērija ir īpaša jaudas sēriju klase, kas definēta tikai funkcijām, kuras ir bezgalīgi diferencējamas kādā atvērtā intervālā.
2. Teilora sērijām ir īpaša forma
tā kā jaudas sērija var būt jebkura formas sērija
