Furjē sērija pret Furjē pārveidojumu
Furjē sērija periodisko funkciju sadala sinusu un kosinusu summā ar dažādām frekvencēm un amplitūdām. Furjē sērija ir Furjē analīzes nozare, un to ieviesa Džozefs Furjē. Furjē transformācija ir matemātiska darbība, kas pārtrauc signālu tā sastāvā esošajās frekvencēs. Sākotnējo signālu, kas laika gaitā mainījās, sauc par signāla laika domēna attēlojumu. Furjē transformāciju sauc par signāla frekvences domēna attēlojumu, jo tas ir atkarīgs no frekvences. Gan signāla frekvences domēna attēlojums, gan process, ko izmanto, lai šo signālu pārveidotu frekvenču apgabalā, tiek saukti par Furjē transformāciju.
Kas ir Furjē sērija?
Kā minēts iepriekš, Furjē sērija ir periodiskas funkcijas paplašināšana, izmantojot bezgalīgu sinusu un kosinusu summu. Furjē sērija sākotnēji tika izstrādāta, risinot siltuma vienādojumus, bet vēlāk tika noskaidrots, ka to pašu paņēmienu var izmantot, lai atrisinātu lielu matemātisko problēmu kopumu, īpaši problēmas, kas saistītas ar lineāriem diferenciālvienādojumiem ar nemainīgiem koeficientiem. Tagad Furjē sērijai ir pielietojums daudzās jomās, ieskaitot elektrotehniku, vibrāciju analīzi, akustiku, optiku, signālu apstrādi, attēlu apstrādi, kvantu mehāniku un ekonometriju. Furjē sērijās tiek izmantotas sinusa un kosinusa funkciju ortogonalitātes attiecības. Furjē sērijas aprēķins un izpēte ir pazīstama kā harmoniskā analīze un ir ļoti noderīga, strādājot ar patvaļīgām periodiskām funkcijām,jo tas ļauj sadalīt funkciju vienkāršos terminos, kurus var izmantot, lai iegūtu sākotnējās problēmas risinājumu.
Kas ir Furjē transformācija?
Furjē transformācija nosaka sakarību starp signālu laika domēnā un tā attēlojumu frekvenču apgabalā. Furjē transformācija izjauc funkciju svārstību funkcijās. Tā kā šī ir transformācija, sākotnējo signālu var iegūt, zinot transformāciju, tādējādi procesā netiek izveidota vai zaudēta informācija. Furjē sērijas izpēte faktiski motivē Furjē transformāciju. Sinusa un kosinusa īpašību dēļ ir iespējams atgūt katra viļņa summu, izmantojot integrālu. Furjē transformācijai ir dažas pamata īpašības, piemēram, linearitāte, translācija, modulācija, mērogošana, konjugācija, dualitāte un konvolūcija. Furjē transformācija tiek izmantota diferenciālvienādojumu risināšanā, jo Furjē transformācija ir cieši saistīta ar Laplasa transformāciju. Furjē transformāciju izmanto arī kodolmagnētiskajā rezonansē (KMR) un cita veida spektroskopijā.
Atšķirība starp Furjē sēriju un Furjē transformāciju
Furjē sērija ir periodiska signāla paplašināšanās kā sinusa un kosinusa lineāra kombinācija, savukārt Furjē transformācija ir process vai funkcija, ko izmanto, lai pārveidotu signālus no laika domēna frekvenču apgabalā. Furjē sērija ir definēta periodiskiem signāliem, un Furjē transformāciju var piemērot aperiodiskiem (notiek bez periodiskuma) signāliem. Kā minēts iepriekš, Furjē sērijas pētījums faktiski nodrošina motivāciju Furjē transformācijai.
