Diferencēšana pret atvasinājumu
Diferenciālā aprēķinā atvasinātais un diferenciācija ir cieši saistīti, bet ļoti atšķirīgi, un tos izmanto, lai attēlotu divus svarīgus matemātiskos jēdzienus, kas saistīti ar funkcijām.
Kas ir atvasinājums?
Funkcijas atvasinājums mēra ātrumu, kādā mainās funkcijas vērtība, mainoties tās ievadam. Vairāku mainīgo funkcijās funkcijas vērtības izmaiņas ir atkarīgas no neatkarīgo mainīgo vērtību maiņas virziena. Tādēļ šādos gadījumos tiek izvēlēts noteikts virziens un funkcija tiek diferencēta tieši šajā virzienā. Šo atvasinājumu sauc par virziena atvasinājumu. Daļējie atvasinājumi ir īpašs virziena atvasinājumu veids.
Ar vektoru novērtētas funkcijas f atvasinājumu var definēt kā robežu,
ja vien tā pastāv galīgi. Kā minēts iepriekš, tas dod mums funkcijas f pieauguma ātrumu vektora u virzienā. Vienvērtīgas funkcijas gadījumā tas samazinās līdz labi zināmai atvasinājuma definīcijai,
Piemēram,
ir visur diferencējams, un atvasinājums ir vienāds ar robežu
kas ir vienāds ar
. Tādu funkciju atvasinājumi, kādi
pastāv visur. Tie attiecīgi ir vienādi ar funkcijām
Tas ir pazīstams kā pirmais atvasinājums. Parasti pirmo funkciju f atvasinājumu apzīmē ar f (1). Tagad, izmantojot šo apzīmējumu, ir iespējams definēt augstākas kārtas atvasinājumus.
ir otrās kārtas virziena atvasinājums, un, apzīmējot n- to atvasinājumu ar f (n) katram n
definē n- to atvasinājumu.
Kas ir diferenciācija?
Diferencēšana ir diferencējamas funkcijas atvasinājuma atrašanas process. D operators, kas apzīmēts ar D, dažos kontekstos pārstāv diferenciāciju. Ja x ir neatkarīgais mainīgais, tad D ≡ d / dx. D-operators ir lineārs operators, ti, jebkurai divām diferencējamām funkcijām f un g un konstante c, pēc kurām ir šādas īpašības.
I. D (f + g) = D (f) + D (g)
II. D (cf) = cD (f)
Izmantojot D-operatoru, citus noteikumus, kas saistīti ar diferenciāciju, var izteikt šādi. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (f / g) = [D (f) g - f D (g)] / g 2 un D (migla) = (D (f) og) D (g).
Piemēram, kad F (x) = x 2 sin x tiek diferencēts attiecībā pret x, izmantojot dotos noteikumus, atbilde būs 2 x sin x + x 2 cos x.
Kāda ir atšķirība starp diferenciāciju un atvasinājumu?
• Atvasinājums attiecas uz funkcijas maiņas ātrumu
• Diferencēšana ir funkcijas atvasinājuma atrašanas process.
