Atvasinājums pret diferenciālo
Diferenciālā aprēķinā funkcijas atvasinājums un diferenciālis ir cieši saistīti, bet tiem ir ļoti atšķirīga nozīme, un tos izmanto, lai attēlotu divus svarīgus matemātiskus objektus, kas saistīti ar diferencējamām funkcijām.
Kas ir atvasinājums?
Funkcijas atvasinājums mēra ātrumu, kādā mainās funkcijas vērtība, mainoties tās ievadam. Vairāku mainīgo funkcijās funkcijas vērtības izmaiņas ir atkarīgas no neatkarīgo mainīgo vērtību maiņas virziena. Tādēļ šādos gadījumos tiek izvēlēts noteikts virziens un funkcija tiek diferencēta tieši šajā virzienā. Šo atvasinājumu sauc par virziena atvasinājumu. Daļējie atvasinājumi ir īpašs virziena atvasinājumu veids.
Ar vektoru novērtētas funkcijas f atvasinājumu var definēt kā robežu,
ja vien tā pastāv galīgi. Kā minēts iepriekš, tas dod mums funkcijas f pieauguma ātrumu vektora u virzienā. Vienvērtīgas funkcijas gadījumā tas samazinās līdz labi zināmai atvasinājuma definīcijai,
Piemēram,
ir visur diferencējams, un atvasinājums ir vienāds ar robežu
kas ir vienāds ar
. Tādu funkciju atvasinājumi, kādi
pastāv visur. Tie attiecīgi ir vienādi ar funkcijām
Tas ir pazīstams kā pirmais atvasinājums. Parasti pirmo funkciju f atvasinājumu apzīmē ar f (1). Tagad, izmantojot šo apzīmējumu, ir iespējams definēt augstākas kārtas atvasinājumus.
ir otrās kārtas virziena atvasinājums, un, apzīmējot n- to atvasinājumu ar f (n) katram n
definē n- to atvasinājumu.
Kas ir diferenciālis?
Funkcijas diferenciālis apzīmē funkcijas izmaiņas attiecībā uz izmaiņām neatkarīgajā mainīgajā vai mainīgajos. Parastajā apzīmējumā noteiktai viena mainīgā x funkcijai f kopējo 1. pakāpes df starpību izsaka
,. Tas nozīmē, ka bezgalīgi mazām x (ti, dx) izmaiņām f būs af (1) (x) dx izmaiņas.
Izmantojot robežas, šī definīcija var beigties šādi. Pieņemsim, ka ∆ x ir izmaiņas x patvaļīgā punktā x, un ∆ f ir atbilstošās izmaiņas funkcijā f. Var parādīt, ka ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, kur ϵ ir kļūda. Tagad robeža ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (izmantojot iepriekš noteikto atvasinājuma definīciju) un tādējādi ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Tāpēc ir iespējams secināt, ka ∆ x → 0 ϵ = 0. Tagad, apzīmējot ∆ x → 0 ∆ f kā df un ∆ x → 0 ∆ x kā dx, diferenciālis ir precīzi iegūts.
Piemēram, funkcijas starpība
ir
Divu vai vairāku mainīgo funkciju gadījumā kopējo funkcijas starpību definē kā atšķirību summu katra neatkarīgā mainīgā virzienā. Matemātiski to var apgalvot kā
Kāda ir atšķirība starp atvasinājumu un diferenciāli?
• Atvasinājums attiecas uz funkcijas maiņas ātrumu, bet diferenciālis uz faktisko funkcijas maiņu, kad tiek pakļauts neatkarīgajam mainīgajam.
• Atvasinājumu dod
bet diferenciāli -
