Populācija pret standarta novirzes paraugu
Statistikā tiek izmantoti vairāki indeksi, lai aprakstītu datu kopu, kas atbilst tās centrālajai tendencei, izkliedei un šķībumam. Standarta novirze ir viens no izplatītākajiem datu izkliedes mērījumiem no datu kopas centra.
Praktisku grūtību dēļ, pārbaudot hipotēzi, nebūs iespējams izmantot visu iedzīvotāju datus. Tāpēc, lai izdarītu secinājumus par populāciju, mēs izmantojam paraugu datu vērtības. Šādā situācijā tos sauc par novērtētājiem, jo tie aplēš populācijas parametru vērtības.
Ir ārkārtīgi svarīgi izdarīt secinājumus par objektīviem aprēķiniem. Tiek lēsts, ka novērtētājs ir objektīvs, ja šī aprēķinātāja paredzamā vērtība ir vienāda ar populācijas parametru. Piemēram, mēs izmantojam izlases vidējo vērtību kā objektīvu populācijas vidējā līmeņa novērtētāju. (Matemātiski var pierādīt, ka izlases vidējā paredzamā vērtība ir vienāda ar populācijas vidējo). Novērtējot populācijas standartnovirzi, arī izlases standartnovirze ir objektīvs novērtētājs.
Kas ir populācijas standartnovirze?
Kad var ņemt vērā visu iedzīvotāju datus (piemēram, tautas skaitīšanas gadījumā), ir iespējams aprēķināt populācijas standartnovirzi. Lai aprēķinātu populācijas standartnovirzi, vispirms tiek aprēķinātas datu vērtību novirzes no populācijas vidējās vērtības. Noviržu vidējo kvadrātu (kvadrātisko vidējo) sauc par populācijas standartnovirzi.
10 skolēnu klasē var viegli apkopot datus par skolēniem. Ja tiek pārbaudīta hipotēze par šo studentu kopu, nav nepieciešams izmantot izlases vērtības. Piemēram, 10 studentu svars (kilogramos) tiek mērīts kā 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 un 79. Tad desmit cilvēku vidējais svars (kilogramos) ir (70 + 62 + 65 + 72 + 80 + 70 + 63 + 72 + 77 + 79) / 10, kas ir 71 (kilogramos). Tas ir vidējais iedzīvotāju skaits.
Tagad, lai aprēķinātu populācijas standartnovirzi, mēs aprēķinām novirzes no vidējā. Attiecīgās novirzes no vidējā ir (70 - 71) = -1, (62 - 71) = -9, (65 - 71) = -6, (72 - 71) = 1, (80 - 71) = 9, (70 - 71) = -1, (63 - 71) = -8, (72 - 71) = 1, (77 - 71) = 6 un (79 - 71) = 8. Novirzes kvadrātu summa ir (-1) 2 + (-9) 2 + (-6) 2 + 1 2 + 9 2 + (-1) 2 + (-8) 2 + 1 2 + 6 2 + 8 2 = 366. Populācijas standartnovirze ir √ (366/10) = 6,05 (kilogramos). 71 ir klases skolēnu precīzs vidējais svars un 6,05 ir precīza svara novirze no 71.
Kas ir parauga standartnovirze?
Ja populācijas parametru novērtēšanai izmanto datus no parauga (n lieluma), tiek aprēķināta izlases standartnovirze. Vispirms tiek aprēķinātas datu vērtību novirzes no vidējā parauga. Tā kā populācijas vidējā vietā (kas nav zināms) tiek izmantots vidējais paraugs, kvadrātiskā vidējā ņemšana nav piemērota. Lai kompensētu vidējā parauga izmantošanu, noviržu kvadrātu summa tiek dalīta ar (n-1), nevis n. Standarta novirzes paraugs ir tā kvadrātsakne. Matemātiskajos simbolos S = √ {∑ (x i -ẍ) 2 / (n-1)}, kur S ir parauga standartnovirze, ẍ ir vidējais paraugs un x i ’s ir datu punkti.
Tagad pieņemsim, ka iepriekšējā piemērā iedzīvotāji ir visas skolas audzēkņi. Tad klase būs tikai paraugs. Ja novērtēšanā izmanto šo paraugu, izlases standartnovirze būs √ (366/9) = 6,38 (kilogramos), jo 366 tika dalīta ar 9, nevis 10 (izlases lielums). Jāņem vērā, ka tas netiek garantēts, ka tā ir precīza populācijas standartnovirzes vērtība. Tas ir tikai tā aprēķins.
Kāda ir atšķirība starp populācijas standartnovirzi un izlases standartnovirzi?
• Populācijas standartnovirze ir precīza parametra vērtība, ko izmanto, lai mērītu dispersiju no centra, turpretim izlases standartnovirze ir objektīvs tās novērtētājs.
• Iedzīvotāju standartnovirze tiek aprēķināta, kad ir zināmi visi dati par katru iedzīvotāju. Citādi tiek aprēķināta parauga standartnovirze.
• Populācijas standartnovirzi izsaka σ = √ {∑ (xi-µ) 2 / n}, kur µ ir populācijas vidējais lielums un n ir populācijas lielums, bet izlases standartnovirzi izsaka ar S = √ {∑ (xi-ẍ) 2 / (n-1)} kur ẍ ir vidējais paraugs un n ir izlases lielums.
