Riemann Integral vs Lebesgue Integral
Integrācija ir galvenā aprēķina tēma. Brodera izpratnē integrāciju var uzskatīt par reverso diferenciācijas procesu. Modelējot reālās problēmas, ir viegli rakstīt izteicienus, kas saistīti ar atvasinājumiem. Šādā situācijā ir nepieciešama integrācijas darbība, lai atrastu funkciju, kas deva konkrēto atvasinājumu.
No cita viedokļa integrācija ir process, kas summē funkcijas ƒ (x) un δx reizinājumu, kur δx mēdz būt noteikta robeža. Tāpēc integrācijas simbolu izmantojam kā ∫. Simbols ∫ faktiski ir tas, ko mēs iegūstam, izstiepjot burtu s, lai apzīmētu summu.
Rīmann Integral
Apsveriet funkciju y = ƒ (x). Y integrālis starp a un b, kur a un b pieder kopai x, ir rakstīts kā b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). To sauc par vienotās vērtētās un nepārtrauktās funkcijas y = ƒ (x) starp a un b noteiktu integrālu. Tas dod laukumu zem līknes starp a un b. To sauc arī par Rīmann integral. Riemann integrālu izveidoja Bernhards Rīmans. Rīmannas nepārtrauktās funkcijas integrālis ir balstīts uz Džordana mēru, tāpēc tas tiek definēts arī kā funkcijas Riemana summu summas robeža. Reāli novērtētai funkcijai, kas definēta slēgtā intervālā, funkcijas Rīmana integrālis attiecībā pret nodalījumu x 1, x 2,…, x nnoteikts intervālā [a, b] un t 1, t 2,…, t n, kur x i ≤ t i ≤ x i + 1 katram i ε {1, 2,…, n}, ir definēta Riemana summa kā Σ i = o līdz n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
Lebesgue ir cita veida integrāls, kas aptver ļoti dažādus gadījumus nekā Riemann integral. Lebesgue integrālu 1902. gadā ieviesa Henri Lebesgue. Legesgue integrāciju var uzskatīt par Riemann integrācijas vispārinājumu.
Kāpēc mums jāizpēta cits neatņemams elements?
Apskatīsim raksturīgo funkciju ƒ A (x) = { 0, ja x nav ε A 1 ja, x ε A uz kopas A. Tad ierobežota raksturīgo funkciju lineāra kombinācija, kas definēta kā F (x) = Σ a i ƒ E i (x) sauc par vienkāršo funkciju, ja E i ir izmērāms katram i. F (x) Lebesgue integrāli virs E apzīmē ar E ∫ ƒ (x) dx. Funkcija F (x) nav Riemann integrējama. Tāpēc Lebesgue integrālis pārfrāzē Rīmaņa integrālu, kuram ir daži ierobežojumi attiecībā uz integrējamām funkcijām.
Kāda ir atšķirība starp Riemann Integral un Lebesgue Integral?
· Lebesgue integrālis ir Rīmana integrāla vispārināšanas forma.
· Lebesgue integrālis pieļauj neskaitāmu nepārtrauktību bezgalību, savukārt Rīmann integrāls pieļauj ierobežotu skaitu pārtraukumu.
