Asociatīvs vs komunikatīvs
Ikdienas dzīvē mums jāizmanto skaitļi ikreiz, kad mums ir nepieciešams kaut ko izmērīt. Pārtikas veikalā, degvielas uzpildes stacijā un pat virtuvē mums jāpievieno, jāatņem un jāreizina divi vai vairāki daudzumi. No savas prakses mēs šos aprēķinus veicam diezgan bez piepūles. Mēs nekad nepamanām un neapšaubām, kāpēc mēs šīs darbības veicam tieši tā. Vai kāpēc šos aprēķinus nevar veikt citādi. Atbilde ir paslēpta veidā, kā šīs darbības tiek definētas algebras matemātiskajā laukā.
Algebrā darbība, kas ietver divus lielumus (piemēram, pievienošana), ir definēta kā binārā darbība. Precīzāk, tā ir darbība starp diviem kopas elementiem, un šos elementus sauc par “operandu”. Daudzas matemātikas operācijas, ieskaitot iepriekš minētās aritmētiskās darbības, un kopas teorijā, lineārajā algebrā un matemātiskajā loģikā sastopamās operācijas, var definēt kā bināras darbības.
Ir noteikts noteikumu kopums, kas attiecas uz konkrētu bināro darbību. Asociatīvās un komutatīvās īpašības ir divas bināro darbību pamatīpašības.
Vairāk par Commutative Property
Pieņemsim, ka elementiem A un B tiek veikta kāda binārā darbība, kas apzīmēta ar simbolu ⊗. Ja operandu secība neietekmē operācijas rezultātu, tiek uzskatīts, ka operācija ir komutatīva. ti, ja A ⊗ B = B ⊗ A, tad darbība ir komutatīva.
Aritmētisko darbību saskaitīšana un reizināšana ir komutatīva. Saskaitīto vai reizināto skaitļu secība neietekmē galīgo atbildi:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Bet dalījuma gadījumā secības maiņa dod otra savstarpējo, bet atņemot izmaiņas dod otra negatīvo. Tāpēc
A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 un 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 un 5 ÷ 4 = 1,25 [šajā gadījumā A, B ≠ 1 un 0]
Faktiski atņemšana tiek uzskatīta par pretkomutatīvu; kur A - B = - (B - A).
Arī loģiskie savienojumi, saikne, disjunkcija, implikācija un ekvivalence arī ir komutatīvi. Patiesības funkcijas ir arī komutatīvas. Iestatītā operāciju savienība un krustojums ir komutatīvi. Arī vektoru pievienošana un skalārais produkts ir komutatīvs.
Bet vektoru atņemšana un vektoru produkts nav komutatīvs (divu vektoru vektoru produkts ir antikomutatīvs). Matricas pievienošana ir komutatīva, bet reizināšana un atņemšana nav komutatīva. (Divu matricu reizināšana var būt komutatīva īpašos gadījumos, piemēram, matricas reizināšana ar tās apgriezto vai identitātes matricu; bet noteikti matricas nav komutatīvas, ja matricas nav vienāda lieluma)
Vairāk par asociatīvo īpašumu
Binārā darbība tiek uzskatīta par asociatīvu, ja izpildes secība neietekmē rezultātu, ja ir divi vai vairāki operatora gadījumi. Apsveriet elementus A, B un C un bināro darbību ⊗. Operācija ⊗ tiek uzskatīta par asociatīvu, ja
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
No pamata aritmētiskajām funkcijām tikai saskaitīšana un reizināšana ir asociatīvas.
A + (B + C) = (A + B) + C 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C × 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Atskaitīšana un dalīšana nav asociatīva;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C 4 - (5 - 3) = 2 un (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 un (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Loģisko savienojumu disjunkcija, savienojums un ekvivalence ir asociatīva, tāpat kā iestatīto operāciju savienība un krustojums. Matrica un vektoru pievienošana ir asociatīvas. Vektoru skalārais produkts ir asociatīvs, bet vektoru produkts nav. Matricas reizināšana ir asociatīva tikai īpašos apstākļos.
Kāda ir atšķirība starp komutatīvo un asociatīvo īpašumu?
• Gan asociatīvais īpašums, gan komutatīvais īpašums ir bināro operāciju īpašās īpašības, un daži tos apmierina, bet citi ne.
• Šīs īpašības var redzēt daudzās algebrisko darbību formās un citās matemātikas binārajās operācijās, piemēram, krustošanās un savienošanās kopu teorijā vai loģiskie savienojumi.
• Atšķirība starp komutatīvo un asociatīvo ir tāda, ka komutatīvā īpašība norāda, ka elementu secība nemaina galīgo rezultātu, savukārt asociatīvā īpašība norāda, ka operācijas veikšanas kārtība neietekmē galīgo atbildi.
